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数学科学学院成功举办2011年几何学暑期学校

  自2004年起,中国科大数学科学学院每年都会举办几何暑期学校及相关学术活动,参加人员不但有我校高年级本科生,研究生与青年教师,并且常常有来自兄弟院校,如北大、清华、南开、浙大等师生。授课老师都是国际上活跃于几何领域的一流专家学者,他们大部分来自国外。数学学院自2004年起已经举办了8次几何暑期学校及相关学术活动,加强了我系师生与国内外专家的学术交流,提高了我校几何方向的学术水平,并且在兄弟院校之间取得了一定的影响。一直以来中国科大几何暑期学校都得到中国科大校领导与研究生院的大力支持与资助.

  2011年5月至8月,数学学院再次举办几何暑期学校,课程内容涵盖Riemann几何、偏微分方程、拓扑学、复几何与几何分析。此次暑期学校聘请了九位国外著名专家学者前来授课。以下是他们授课情况的简要介绍.

  1.5月31日-6月23日/7月12-14日,威斯康星大学麦迪逊分校(University of Wisconsin, Masison)数学系Laurentiu Maxim教授应邀开设了“Algebraic Topology”系列讲座。我系约30位老师和同学认真地听了Maxim教授的讲座,其中以研究生为主。Maxim教授的授课内容主要包括五个方面:(1)同伦群理论;(2)谱序列及其应用(用于计算球面的某些同伦群);(3)纤维丛与主丛及其分类;(4)向量丛;(5)示性类及其应用(配边理论)。他先从同伦群的定义讲起,证明了同伦群的一些经典定理,介绍了谱序列这个强大的计算技巧,利用谱序列计算了球面的一些同伦群。然后讲了丛理论及其分类,揭示了同伦群与向量丛分类之间的深刻联系。最后又从丛理论引出示性类,利用示性类证明了配边理论。Maxim教授的讲座大大拓展了我们的视野,使我们深刻认识到代数拓扑与各种几何问题的深刻联系,学会了用代数拓扑的技巧来解决一些几何问题,实在受益匪浅。不少几何方向与数学物理方向的同学感觉此次讲座对他们的研究帮助很大,对于代数拓扑这个方向有了更深入的理解。


Laurentiu Maxim教授在授课

  2.6月28日-7月20日,加州大学欧文分校的Vladmir教授应邀开设了“Introduction to Algebraic Geometry”系列讲座。虽正值酷暑的假期,仍有我系20余师生聆听了Vladimir教授的讲座,其中多数为高年级本科生和研究生。Vladimir教授的讲座,从仿射空间和仿射代数集讲起,介绍了Zariski拓扑、仿射簇、射影簇、Blowup、有理映射等基本概念,并通过一系列例子进行了深入浅出的讲解;接下来介绍了代数簇的维数、光滑性、同构等经典代数几何的概念,最后引入了线丛等定义,并用代数曲线等例子做了说明。Vladimir教授的讲授,注重概念的理解和各种例子的说明,对各种基本的性质和定理也做了详细的论证,为代数几何进一步的学习打下了良好的基础。Vladimir教授的讲座思路清晰、严谨,深受同学们的欢迎,使同学们对代数几何有了初步的了解,激发了相关专业的同学的学习热情,开阔了很多其他专业同学的视野,使听课的学生都受益匪浅。


Vladimir Baranovsky教授在授课

  3.6月29日-7月13日密西根州立大学(Michigan State University)数学系王晓东教授应开设了“Geometric analysis”系列讲座。主要包括两个方面:(1)Yamabe问题;(2)正质量定理。王晓东教授从Einstein度量讲起,介绍了Yamabe问题的背景及发展,然后又分别介绍了丘成桐-Schoen及Witten对正质量猜想的证明,还介绍了旋几何的若干方法,王老师推导详尽,课后耐心回答同学们的问题,还为大家写好了讲义,课堂气氛活跃,大家都表示听王老师的课受益匪浅,对日后几何分析方面的学习和研究会有重大帮助。


Xiaodong Wang教授在授课

  4.6月28日-7月28日迈阿密大学蔡明亮教授应邀开设了“Introduction to Riemannian geometry and Lorenzian Geometry”课程。虽然正值暑假期间,但仍有我系及外校20余位师生参加了蔡教授的讲座,其中大部分为研究生与大三以上的本科生。本课程分三部分:微分流形,黎曼几何,洛仑兹几何简介,重点是黎曼几何。首先,蔡教授从微分流形的定义讲起,通过介绍切向量,向量丛,子流形的定义,引入黎曼流形,黎曼度量,并在此基础上介绍了黎曼覆盖与黎曼浸没;然后,蔡教授给出了测地线的定义,运用指数映射证明了Gauss引理,进一步证明了Hopf-Rinow Theorem与1st Variational Formula;接着,蔡教授引入曲率的定义,清楚明了地证明了Gauss-Bonnet公式和体积比较定理等一些常用且重要的结论;最后,蔡教授用两次讲座介绍了相对论中的洛伦兹度量及一些应用作为结束。黎曼几何作为几何学的一个研究领域,有着大量的基础知识和广泛的研究论题。蔡教授在有限的时间里,通过合理的内容选择与组织,运用丰富的例子,同时辅以形象的几何图形,在传授知识的同时,帮助大家理解了抽象概念下所蕴含的几何涵义。在课程学习期间,同学们提出了很多问题,与蔡教授有着良好的沟通与互动。同学们表示本课程深入浅出,清晰细致,为进一步的学习打下了基础,也提升了研究兴趣,使大家获益良多。


Mingliang Cai教授在授课

  5.6月13日-7月20日,University of Okhlahoma数学系Meijun Zhu教授应邀开设了“Second order elliptic equations”课程。朱教授的授课内容主要包括五个方面:(1)Basic formula;(2)Schauder estimate;(3)Lp estimate;(4)DeGingi-Nash-Moser interim (Holder continuity);(5)existence of weak solution(regularity);(6)Moving sphere method(classification);(7)sharp Sobolev (Trudinger-Moser-Onofn)and Yamabe problem;(8)image processing(function deformation)。他先从基本的定义和不等式讲起,证明了Laplace算子的一些经典定理和不等式,介绍了Schauder estimate这个重要的估计技巧,讲解了偏微分方程的弱解的一些基本定义和性质。然后讲了Yamabe问题的来源以及研究现状以及基本的研究思路,揭示了椭圆算子与Yamabe问题之间的深刻联系。最后又讲了图像处理,利用偏微分方程的相关知识解决图像处理的相关问题。朱教授的讲座大大拓展了我们的视野,使我们深刻认识到偏微分方程与各种几何以及分析问题的深刻联系,学会了用方程的技巧来解决一些实际问题,实在受益匪浅。不少偏微分方程方向与几何分析方向的同学感觉此次讲座对他们的研究帮助很大,对于偏微分方程这个方向有了更深入的理解。


Meijun Zhu教授在授课

  6.7月12日-7月28日加州大学(UCI)数学系陆志勤教授应邀开设了“Complex Geometry”的课程。陆教授首先介绍了有关复流形、复向量丛的一些知识,然后通过对复结构较为深入的讨论,逐步引入了层论及Cěch上同调群的概念,构造了一些层与上同调群的典型例子并且给出了一些基本性质;最后又讲解并证明了Hodge定理,Deformation理论,Vanishing定理,Calabi猜想以及Kodaria embedding定理的一些重要步骤及思路。在短短的9次课程中,陆老师以自己对复几何的独特理解向我们介绍了其中的一些基本概念、解决问题的基本思路以及一些重要的结果.陆老师的讲课自然、流畅并富有激情,环环紧扣,精彩纷呈,很好的带动了同学们在课上的积极性,并不时有同学提出自己的问题和看法,陆老师对同学们提出的问题都给出了详尽的解答,对同学们给出的观点也给出了肯定或指正。同学们都反映听了陆老师的课程受益匪浅,并且对复几何的学习产生了浓厚的兴趣。通过这次学习大大拓展了同学们的知识面,对一些相关课程的学习也有积极的帮助。


Zhiqin Lu教授在授课

  7.7月25日-8月8日美国宾夕法尼亚大学的Brian Weber博士应邀开设了“Introduction to Collapsing Riemannian Manifolds”系列讲座。黎曼流形塌缩理论是上世纪80年代由两位数学大师Cheeger和Gromov的一系列文章建立起来的,为研究黎曼流形的结构及分类起来重要的作用。经过Cheeger,Colding,Tian等数学家的不懈努力,发现塌缩理论与凯勒几何中的典则度量的存在性有很深刻的联系。Weber博士由浅入深,首先由最简单的塌缩现象出发,引入三维球面的塌缩现象。通过丰富的例子来解释塌缩理论中的各种名词以及Cheeger-Gromov定理。最后,Weber博士介绍了塌缩理论的最新发展及给出了参考文献。在此次听课的众多师生中,不止有科大本校的数学系师生,还有来自浙江大学的研究生。通过该课程的学习,大家对塌缩理论有了初步的了解,为深入研究该理论起到了很好的作用。


Brian Weber教授在授课

  8.8月2日-8月12日,加州大学河滨分校的张琪教授应邀开设了“Topics in Ricci flow”课程。张旗教授早年就对热方程的研究有很深的造诣,05年左右开始转到Ricci flow这个方向,深厚的方程功底让他能够用分析的办法得到一些好的结果;另外,他还得到了带手术Ricci flow的强局部非坍塌,证明仅仅用到了椭圆方程的特征值估计。他告诉我们,他的方法不能得到几何化猜想的证明,但是由于不需要太复杂的工具与技巧,因此可以被更多的人看懂,真正做到了一点:好的证明总是简单并且漂亮的。张旗教授仔细地讲解了Harnack不等式。他希望在不久的将来,可以得到古代解Ricci flow数量曲率的单调性的简化证明。他还介绍了Ricci flow的一些公开问题..


张琪教授在授课

  9.6月8日至10日及6月20日至29日在东区五教5506教室,威斯康星大学麦迪逊分校(University of Wisconsin,Madison)数学系Sean Paul教授应陈秀雄老师邀请,开设了“An elementary introduction to complex differential geometry”系列讲座,共7次课。我系数10位老师和同学认真地听了Paul教授的讲座,其中以研究生为主。Paul教授的授课内容主要包括两部分内容:(1)Hermitian 线性代数;(2)紧复流形和全纯线丛:关于Hermitian 线性代数,教授从Hodge*算子开始,然后详细介绍了H(2,C)的表示,证明了相关性质,最后以Hodge-Riemann双线性关系与Griffiths的周期映射结束。另一部分,Paul教授从复流形的定义出发,由浅入深,介绍了很多例子,方便大家理解掌握。Paul教授的讲座不仅拓宽了我们的视野,让我们对复几何有了初步认识,也让我们了解到许多理论的来历与发展,同时学到了复几何问题中的一些处理技巧。虽然只有7次讲座,同学们都感觉这次的讲座让他们受益匪浅,对以后的研究也帮助很大。


Sean Paul教授在授课

  本次暑期学校九门课程的听课人员多达200余人次,其中以我校数学学院、少年班学院、管理学院的高年级本科生、研究生及青年教师为主。还有一些来自国内兄弟院校(中科院、复旦大学等)的师生。暑期学校的成功举办进一步提高了我系几何方向的学术水平,并且在兄弟院校之间取得了一定的学术影响。本次暑期学校还得到国家外专局的大力资助.

数学科学学院
2011年9月1日

 
 
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